Согласно действующей редакции закона о гражданстве РФ, Вы должны были выйти из укр. гражданства.
(если же вопреки закону о гражданстве РФ осталось украинское гражданство - для Украины Вы только гражданка Украины. И отсутствие ргеистрации по м.ж. не должно быть препятствием для трудоустройства, только паспорт требуется внутренний, если его не останется (при выписке для ПМЖ за границей его сдают) - это будет препятствием для трудостройства, а факт отсутствия регистрации по м.ж. или по месту пребывания при наличии укр гражданства - это не помеха офиц. трудоустройству

Ст25 КЗОТ:
"При укладенні трудового договору забороняється вимагати від
осіб, які поступають на роботу, відомості про їх партійну і
національну приналежність, походження, реєстрацію місця проживання
чи перебування та документи, подання яких не передбачено
законодавством"

маш. перевод

"При заключении трудового договора запрещается требовать от
лиц, поступающих на работу, сведения об их партийной и
национальную принадлежность, происхождение, регистрацию места жительства
или пребывания и документы, предоставление которых не предусмотрено
законодательством "

)

Чтобы законно работать на том же месте (если только оно не входит в перечень профессий, закрытый для иностранцев, см. ниже), нужно

либо получить вид на жительство в Украине, зарегистрировавшись по м.ж. в Украине (требовать для этого выписываться из РФ незаконно, но некоторые овиры требуют - а значит, или подчиняться, или отказаться от идеи ВнЖ или оспаривать это требование, требуя письменный отказ - для обжалования в суде или вышестоящем органе ГИРФЛ)

подробно о получении ВнЖ
http://russia-ukraine.tk/forum/51-649-1

http://russia-ukraine.tk/forum/51-186-1

http://russia-ukraine.tk/forum/51-525-1

либо работодателю (если работа не входит в закрытый для иностранцев перечень) получать разрешение на трудоустройство иностранца. Такое разрешение дается каждый раз на срок не более 1 года. Получать трудно (сложные требования, и центр занятости всегда с легкостью может отказать), работодатели предпочитают не связываться ("посредники" могут облегчить дело, за плату).

(с сайта госслужбы занятости Украины)
В соответствии со ст. 8 Закона № 3929-ХІІ иностранцы не могут назначаться на отдельные должности или заниматься определенной трудовой деятельностью, если согласно законодательству Украины на эти должности или данной деятельностью могут заниматься только граждане Украины. Так, иностранцы не могут быть:

- нотариусами (ст. З Закона Украины от 02.09.93 г. № 3425-ХП «О нотариате»); адвокатами (ст. 2 Закона Украины от 19.12.92 г. № 2887-ХП «Об адвокатуре»);

- аудиторами (ст. 5 Закона Украины от 22.04.93 г. № 3125-ХП «Об аудиторской деятельности»);
(Р.Г.: сообщали о примерах, когда иностранцы работали аудиторами)

- судьями (ст. 7 Закона Украины от 15.12.92 г. № 2862-ХІІ «О статусе судей», ст. 22 Закона Украины от 04.06.91 г. № 1142-ХП «О хозяйственных судах»);

- таможенниками (ст. 7 Закона Украины от 25.06.91 г. № 1262-ХП «О таможенной службе в Украине»);

- приняты на государственную службу (ст. 4 Закона Украины от 16.12.93 г. № 3723-ХП «О государственной службе».

======
о получении разрешения на работу здесь

http://russia-ukraine.tk/forum/61-447-1
сообщение 2, вместе с иной информацией

http://russia-ukraine.tk/forum/19-162-1#597
(в этой ветке наиболее подробно писал о получении разрешения на трудоустройство иностранцев, но информация разбавлена и другими вопросами. Все же посмотрите лучше там, игнорируя лишнее.)