Мой ответ

""Нужно ли оформлять какие-то документы: разрешение на вывоз ребенка, доверенность или что-то еще?""

Не нужно.
Есть ограничения только на выезд росс. детей ИЗ РОССИИ, в федеральном законе говорится только о выезде из России, соответственно, для выезда из других стран и въезда в какую-либо страну специальных правил, ограничений для росс. детей нет. Может быть только произвол, который надо пресекать. Если в рамках маршрута из России поедут в Беларусь - по идее, тоже применяются росс. правила для выезда росс. ребенка из РФ, но во-первых, сопровождения матери достаточно (если у росс. погранслужбы нет сведений о несогласии отца), во-вторых, погранконтроля на росс.-белорусской границе нет.

опирайтесь на материалы, методы противодействия беззаконию, изложенные на нашем форуме здесь, в ответе о выезде из РФ
http://russia-ukraine.tk/forum/100-328-1

см. как у людей из-за произвола, из-за массового дезинформирования, уже выработался рефлекс перестраховываться и выполнять незаконные требования:

http://www.bpclub.ru/index.php?showtopic=17652
сравните реальные мнения, в том числе пересекавших. В дискуссии по данной ссылке нужно придерживаться позицииСтарожила и Bestum, который приводит тот же скан официального ответа погранслужбы, ч то и мы. Требование дать согласие отца может прозвучать. Разводка, вымогательство , угроза снять с поезда - может быть. Но законного письменного отказа - постановления об отказе в пропуске через границу -н е может быть. Требовать постановления - отстанут. Украинское постановление выглядит вот так
http://russia-ukraine.tk/_fr/3/9626348.jpg

Главное - помнить: для выезда росс. детей из Украины в Беларусь, из беларуси в Украину и т.д. по любому маршруту (кроме выезда из РФ) - НЕТ особых требований. НИГДЕ. Если пограничник считает иначе - потребовать привести нормативно-правовой акт, где такое требование содержится. и требовать составить протокол и выдать Вам Вашу копию постановления об отказе в пропуске через границу - для обжалования. проблема будет снята.